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08:15h. Sábado, 25 de Noviembre de 2017

HARALD HELFGOTT

El matemático peruano que logró demostrar la Conjetura Débil de Goldbach

Un desafío matemático que pasó 271 años sin poder ser resuelto y para  cuya solución fueron necesarios el razonamiento y las técnicas computacionales

El matemático logró demostrar uno de los enigmas más complejos sin resolver.
El matemático logró demostrar uno de los enigmas más complejos sin resolver.

Su trabajo quedó registrado en un texto que supera las 200 páginas y el esfuerzo desempeñado en conseguir su objetivo, la demostración de la Conjetura Débil de Goldbach, logró cerrar un capítulo en la historia de los grandes enigmas de la matemática. A partir de 2013, esta incógnita, que sostiene que todo número impar puede escribirse como la suma de tres primos, se convirtió en un teorema, es decir, una proposición que afirma una verdad que puede ser demostrada.

Recién en 2015 el trabajo que registra esta proeza del razonamiento deductivo con apoyo de la tecnología de los ordenadores, fue publicado. Esta hazaña, le valió ser el primer científico latinoamericano, y también el más joven, en ganar la Cátedra Humboldt por haber sido capaz de resolver un enigma de casi tres siglos de antigüedad.

Harald Andrés Helfgott Seier, nació en Lima, Perú en 1977. Sus padres son Michel Helfgott, también matemático, docente de la Universidad Mayor de San Marcos en Lima, y Edith Seier, estadística de esa misma casa de estudios y quien trabajó además en el Instituto Nacional de Estadística e Informática del Perú (INEI). Realiza sus primeros estudios en la escuela María Alvarado hasta cuarto grado de primaria y luego en el colegio Alexander Von Humboldt, ambos en la capital peruana. Desde temprana edad, manifestó habilidades sobresalientes en matemáticas, lo que le permitió obtener una beca de pregrado en la Universidad de Brandeis en Estados Unidos. Con posterioridad, obtiene un doctorado en Princeton, seguido de un post doctorado en la Universidad de Yale. Su brillante trayectoria en investigación matemática prosiguió en el Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) en Francia desde 2010 y se extendió hasta este año, en el que se desempeñó como investigador visitante en Teoría de Números en el Instituto de Matemática Pura y Aplicada (IMPA) de Río de Janeiro, Brasil durante el período comprendido entre los meses de junio y septiembre pasados. Dentro de pocos días, se establecerá en Alemania, para dictar clases en la Universidad de Göttingen y proseguir allí con sus labores investigativas y docentes.

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Harald Helfgott, quien publicó la prueba de la Conjetura Ternaria de Goldbach.

El origen de esta conjetura

El autor de esta afirmación, fue el matemático prusiano Christian Goldbach, quien en 1742 escribe una carta a su amigo y colega, el suizo Leonhard Euler, en la que consigna el siguiente planteamiento:"todo número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres números primos". Posteriormente, ésta aparece publicada, sin demostrarse, en las Meditationes Algebraicae del matemático inglés de Cambridge,  Edward Waring (1734-1798), junto a la afirmación que "todo número natural mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos", la que, finalmente, se transformaría en la llamada Conjetura Fuerte de Goldbach, ya que contiene a la primera. Como ninguno de los dos matemáticos, ni Goldbach ni Euler, pudieron probarla, ambas aseveraciones pasaron a la historia como conjeturas.

Durante el siglo XIX, se conocía la existencia del problema, pero nadie se aventuró a intentar dar una solución, hasta que en los inicios del siglo XX, los matemáticos británicos Hardy y Littlewood demostraron que la conjetura era cierta para números impares más grandes que una cierta constante no especificada, siempre que se asumiera la llamada Hipótesis Generalizada de Riemann (uno de los siete problemas del milenio establecidos por la Fundación Clay). Quince años después, para sorpresa de muchos, Vinogradov demostró que el mismo resultado era cierto de manera incondicional, es decir, que no hacía falta asumir la Hipótesis Generalizada de Riemann.

En 2005, Helfgott, se plantea el desafío de comprobar esta conjetura, comenzando por estudiar el trabajo de otros investigadores que habían logrado demostrar la conjetura débil para cierta cantidad de números. El enunciado de Goldbach poseía un fascinante cariz que inducía a error. Sonaba muy simple, pero probarlo para todos los números impares hasta el infinito era muy complejo. El inconveniente radicaba en saber que la conjetura era cierta para números tremendamente grandes, más allá de la escala astronómica. No había forma de verificar dicho cálculo para una cantidad de números impares tan inconmensurables. A lo largo de los años hubo mejoras graduales en estas cotas, hasta que en 2003, Liu y Wang llegaron a conclusiones que aseguraban que el resultado era cierto para números impares mayores que e^3100, cuyo valor es del orden de 2.10^1346. Helfgott, pudo probar que la propuesta comienza a ser válida a partir de 10^30, aunque, posteriormente, tras varias mejoras, la prueba logró acotarse a 10^27, que es la última versión vigente en la actualidad. La verificación numérica  que aparece en el artículo donde comparte autoría con David Platt, cubre todos los casos hasta 8,8·10^30 es decir, es más que suficiente. De todas maneras, no es el cálculo más grande que ambos científicos tuvieron que desarrollar en la demostración. Diario ConCiencia se puso en contacto con este afamado investigador, quien gentilmente respondió nuestras preguntas, para hablar acerca de este gran avance para el mundo de las matemáticas.

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Al igual que cuando sintonizamos la radio, el "método del círculo" consiste en lograr aproximaciones mediante una cota superior e inferior, muy próximas a los valores que buscamos.

Doctor Helfgott ¿Cuáles fueron las herramientas matemáticas más eficientes y más eficaces que Ud. utilizó para lograr la demostración de la Conjetura Débil de Goldbach?

En sus grandes líneas, el enfoque general fue el mismo que el de Vinogradov (y Hardy-Vinogradov), es decir, el uso del análisis de Fourier, conocido como el "Método del Círculo", para resolver un problema en teoría de números. Tuve que mejorar las estimaciones de sumas exponenciales (series de Fourier) con sumo cuidado, usando, en particular, ideas provenientes de la así llamada gran criba, (otro método en la teoría analítica de números). El rol computacional fue auxiliar. Básicamente consistió en la verificacion de los casos pequeños por fuerza bruta - necesario después de casi toda prueba analítica - así como la verificacion rigurosa, de un trozo finito de la Hipótesis Generalizada de Riemann, lo cual estuvo a cargo de David Platt, quien es investigador en el área computacional de la Universidad de Bristol.

¿Qué importancia le atribuye Ud. a la deducción matemática (razonamiento) aplicada, por ejemplo, a demostraciones como la suya, donde, de recurrir a la inducción, hacer cómputos cifra por cifra, obligaría a efectuar operaciones en cantidades astronómicas?

Toda prueba matemática se basa en la deducción, no en la "inducción" en el sentido de la ciencias experimentales (la inducción matemática es otra cosa). Proceder como en las ciencias experimentales no sólo requeriría grandes cálculos, sino que no constituiría una prueba.

¿Está preparado el mundo matemático para afrontar el desafío de probar la Conjetura Fuerte de Goldbach?

Me parece que faltan aún herramientas, a pesar de varios desarrollos recientes (Goldston-Pintz-Yildirim-Zhang-polymath-Maynard sobre espacios entre primos, Matomäki-Radziwill sobre variaciones de signos de Liouville).

A su juicio ¿Cuáles son los nombres más grandes en la historia de la matemática y cuáles fueron sus aportes?

Es una pregunta muy general a la cual es difícil responder propiamente en brevedad. Creo que nos podríamos poner de acuerdo sobre algunos antiguos matemáticos griegos. Mientras Europa pasaba por la Edad Media, que en efecto fue una edad oscura para la ciencia, la matemática se practicaba mas que nada en el mundo árabe y en la India.  En teoría de números, está claro que los más grandes de los siglos XVII y XVIII fueron Fermat y Euler, respectivamente. Luego viene Gauss y el campo comienza a definirse bien. A partir de allí se podrían dar muchísimos nombres.

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El matemático explicando la demostración de la Conjetura Débil de Goldbach.

¿Cuál fue el marco teórico, luego desestimado, que mantuvo al número 1 hasta el siglo XIX en la categoría de número primo?

Mi impresión es que el hecho que las unidades deben ser tratadas de manera distinta a los irreducibles, se volvió realmente claro sólo una vez que se comenzó a trabajar sistemáticamente con extensiones algebraicas de los racionales, pues fue allí cuando se comenzó a trabajar con unidades que no fueran "1" ó "-1" como, por ejemplo, el número imaginario i.

La Hipótesis Generalizada de Riemman, pese a su condición de conjetura y uno de los problemas del milenio, ¿puede continuar siendo el fundamento para investigaciones matemáticas futuras?

Se llama hipótesis, y no solamente conjetura, precisamente porque se usa a menudo como una hipótesis de trabajo. Claro está entonces, que se habla de resultados condicionales. Cuando se comprueba algo - como lo hice - sin utilizar hipótesis sin demostrar, se habla de una prueba incondicional. DCC